一道专升本模拟题难住一片大专生

一道专升本模拟题难住一片大专生

证明方程 x3+x1=0x^3+x-1=0 至少有一个大于 0 的根。

其实这道题不难,但是因为高中不教反证法零点定理,导致他们缺少了基础知识,所以他们做不出来。

这道题考查了函数与方程的思想,需要把方程的根转化为函数的零点处理。证明过程如下。

【证明】:假设方程 x3+x1=0x^3+x-1=0 的所有根都小于 0。

f(x)=x3+x1f(x)=x^3+x-1,则 f(x)=3x2+1>0f'(x)=3x^2+1>0

f(x)f(x) 在定义域 R\mathbb{R} 上单增。

由题意,f(x)f(x) 是初等函数,在定义域上连续。

又∵ f(0)=1, f(1)=1f(0)=-1,\ f(1)=1

∴根据零点定理,x0(0,1)\exists x_0 \in (0,1),使得 f(x0)=0f(x_0)=0

即方程 x3+x1=0x^3+x-1=0 有一个根 x0>0x_0 \gt 0,与假设相反。

∴假设错误,即方程 x3+x1=0x^3+x-1=0 至少有一个大于 0 的根。


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题图: 用 WolframAlpha 绘制

头图:https://pixabay.com/zh/photos/munich-olympic-stadium-tv-tower-2516492/


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一道专升本模拟题难住一片大专生
https://blog.kukmoon.com/f1152d12aa41/
作者
Kukmoon谷月
发布于
2024年1月21日
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