本文最后更新于 2021-11-11T23:15:03+08:00
高斯积分是 ∫−∞+∞e−x2dx 。
学过微积分的都知道,∫e−x2dx 在初等函数范围内是不可积的。更何况高斯积分的积分上下界是 +∞ 和 −∞。这就决定了我们无法用微积分基本定理去求解。
但是,有数学家给出了天才的解法。如果不是吃透了定积分的定义,再加上神来之笔的灵感,是想不出这个解法的。我等后人只有膜拜了。
【解析】
令 I=∫−∞+∞e−x2dx 。
定积分是一个数,与被积函数的自变量无关,
所以,换一下元,有 I=∫−∞+∞e−y2dy 。
这样,凭空多出一个自变量 y,
二者相乘,得 I2=∫−∞+∞∫−∞+∞e−(x+y)2dxdy 。
二重积分可以用极坐标换元便于求解,
令 x2+y2=r2,dxdy=rdrdθ,其中 r∈[0,+∞),θ∈[0,2π]。
有 I2=∫02π∫0+∞e−r2rdrdθ
二重积分可以看做两个一元积分的乘法。既然被积函数没有 θ 这个自变量,可以把它先分离出来,
所以有 I2=∫02πdθ∫0+∞e−r2rdr=2π∫0+∞e−r2rdr。
被积函数多了一个 r,就可以凑微分了,然后根据微积分基本定理求定积分,
有 I2=−21×2π∫0+∞e−r2d(−r2)=−π⋅e−r20+∞=π,
开方即得,I=π。
为什么 dxdy = rdrdθ?
参考了这个知乎答案 https://www.zhihu.com/question/368888687/answer/1447917992 。
有一个假设是,同样是面积微元 dσ,在直角坐标系和极坐标系下是一样大小的,只是计算方式不同。
直角坐标系:dσ=dxdy 。
极坐标系:
![图也是原作者@半个冯博士 画的](https://img.kukmoon.com//v2-24ae1fcfad2a355d1c35bf9fdd5e636b_r.jpg)
dσ=S扇M2OM3−S扇M1OM4=21(r+Δr)2⋅Δθ−21r2⋅Δθ=21[r2+2rΔr+(Δr)2−r2]Δθ=21[2rΔr+(Δr)2]⋅Δθ
由于 dθ≈Δθ,(Δr)2 是 2rΔr 的高阶无穷小(可以忽略),dr≈Δr,
因此 dσ=21(2rΔr)⋅Δθ=rdrdθ。
综上所述 dσ=dxdy=rdrdθ
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头图:Image by Erika Varga from Pixabay